The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

lt0(Nil, Cons(x', xs)) → True
lt0(Cons(x', xs'), Cons(x, xs)) → lt0(xs', xs)
g(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
f(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
notEmpty(Cons(x, xs)) → True
notEmpty(Nil) → False
lt0(x, Nil) → False
g(x, Cons(x', xs)) → g[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
f(x, Cons(x', xs)) → f[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
number4(n) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
goal(x, y) → Cons(f(x, y), Cons(g(x, y), Nil))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

g[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → g(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
g[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → g(x', xs)
f[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → f(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
f[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → f(x', xs)

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

lt0(Nil, Cons(x', xs)) → True
lt0(Cons(x', xs'), Cons(x, xs)) → lt0(xs', xs)
g(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
f(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
notEmpty(Cons(x, xs)) → True
notEmpty(Nil) → False
lt0(x, Nil) → False
g(x, Cons(x', xs)) → g[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
f(x, Cons(x', xs)) → f[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
number4(n) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
goal(x, y) → Cons(f(x, y), Cons(g(x, y), Nil))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

g[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → g(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
g[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → g(x', xs)
f[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → f(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
f[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → f(x', xs)

Rewrite Strategy: INNERMOST

(3) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
number4/0

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

lt0(Nil, Cons(x', xs)) → True
lt0(Cons(x', xs'), Cons(x, xs)) → lt0(xs', xs)
g(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
f(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
notEmpty(Cons(x, xs)) → True
notEmpty(Nil) → False
lt0(x, Nil) → False
g(x, Cons(x', xs)) → g[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
f(x, Cons(x', xs)) → f[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
number4 → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
goal(x, y) → Cons(f(x, y), Cons(g(x, y), Nil))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

g[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → g(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
g[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → g(x', xs)
f[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → f(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
f[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → f(x', xs)

Rewrite Strategy: INNERMOST

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
lt0(Nil, Cons(x', xs)) → True
lt0(Cons(x', xs'), Cons(x, xs)) → lt0(xs', xs)
g(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
f(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
notEmpty(Cons(x, xs)) → True
notEmpty(Nil) → False
lt0(x, Nil) → False
g(x, Cons(x', xs)) → g[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
f(x, Cons(x', xs)) → f[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
number4 → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
goal(x, y) → Cons(f(x, y), Cons(g(x, y), Nil))
g[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → g(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
g[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → g(x', xs)
f[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → f(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
f[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → f(x', xs)

Types:
lt0 :: Nil:Cons → Nil:Cons → True:False
Nil :: Nil:Cons
Cons :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
True :: True:False
g :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
notEmpty :: Nil:Cons → True:False
False :: True:False
g[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
number4 :: Nil:Cons
goal :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
hole_True:False1_1 :: True:False
hole_Nil:Cons2_1 :: Nil:Cons
gen_Nil:Cons3_1 :: Nat → Nil:Cons

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
lt0, g, f

They will be analysed ascendingly in the following order:
lt0 < g
lt0 < f

(8) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
lt0(Nil, Cons(x', xs)) → True
lt0(Cons(x', xs'), Cons(x, xs)) → lt0(xs', xs)
g(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
f(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
notEmpty(Cons(x, xs)) → True
notEmpty(Nil) → False
lt0(x, Nil) → False
g(x, Cons(x', xs)) → g[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
f(x, Cons(x', xs)) → f[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
number4 → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
goal(x, y) → Cons(f(x, y), Cons(g(x, y), Nil))
g[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → g(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
g[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → g(x', xs)
f[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → f(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
f[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → f(x', xs)

Types:
lt0 :: Nil:Cons → Nil:Cons → True:False
Nil :: Nil:Cons
Cons :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
True :: True:False
g :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
notEmpty :: Nil:Cons → True:False
False :: True:False
g[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
number4 :: Nil:Cons
goal :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
hole_True:False1_1 :: True:False
hole_Nil:Cons2_1 :: Nil:Cons
gen_Nil:Cons3_1 :: Nat → Nil:Cons

Generator Equations:
gen_Nil:Cons3_1(0) ⇔ Nil
gen_Nil:Cons3_1(+(x, 1)) ⇔ Cons(Nil, gen_Nil:Cons3_1(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
lt0, g, f

They will be analysed ascendingly in the following order:
lt0 < g
lt0 < f

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) → True, rt ∈ Ω(1 + n5₁)

Induction Base:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(+(1, 0))) →_R^Ω(1)
True

Induction Step:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(+(n5_1, 1)), gen_Nil:Cons3_1(+(1, +(n5_1, 1)))) →_R^Ω(1)
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) →_IH
True

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
lt0(Nil, Cons(x', xs)) → True
lt0(Cons(x', xs'), Cons(x, xs)) → lt0(xs', xs)
g(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
f(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
notEmpty(Cons(x, xs)) → True
notEmpty(Nil) → False
lt0(x, Nil) → False
g(x, Cons(x', xs)) → g[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
f(x, Cons(x', xs)) → f[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
number4 → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
goal(x, y) → Cons(f(x, y), Cons(g(x, y), Nil))
g[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → g(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
g[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → g(x', xs)
f[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → f(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
f[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → f(x', xs)

Types:
lt0 :: Nil:Cons → Nil:Cons → True:False
Nil :: Nil:Cons
Cons :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
True :: True:False
g :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
notEmpty :: Nil:Cons → True:False
False :: True:False
g[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
number4 :: Nil:Cons
goal :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
hole_True:False1_1 :: True:False
hole_Nil:Cons2_1 :: Nil:Cons
gen_Nil:Cons3_1 :: Nat → Nil:Cons

Lemmas:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) → True, rt ∈ Ω(1 + n5₁)

Generator Equations:
gen_Nil:Cons3_1(0) ⇔ Nil
gen_Nil:Cons3_1(+(x, 1)) ⇔ Cons(Nil, gen_Nil:Cons3_1(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
g, f

(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
g(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(n384_1)) → gen_Nil:Cons3_1(4), rt ∈ Ω(1 + n384₁)

Induction Base:
g(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(0)) →_R^Ω(1)
Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))

Induction Step:
g(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(+(n384_1, 1))) →_R^Ω(1)
g[Ite][False][Ite](lt0(gen_Nil:Cons3_1(0), Cons(Nil, Nil)), gen_Nil:Cons3_1(0), Cons(Nil, gen_Nil:Cons3_1(n384_1))) →_L^Ω(1)
g[Ite][False][Ite](True, gen_Nil:Cons3_1(0), Cons(Nil, gen_Nil:Cons3_1(n384_1))) →_R^Ω(0)
g(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(n384_1)) →_IH
gen_Nil:Cons3_1(4)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(13) Complex Obligation (BEST)

(14) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
lt0(Nil, Cons(x', xs)) → True
lt0(Cons(x', xs'), Cons(x, xs)) → lt0(xs', xs)
g(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
f(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
notEmpty(Cons(x, xs)) → True
notEmpty(Nil) → False
lt0(x, Nil) → False
g(x, Cons(x', xs)) → g[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
f(x, Cons(x', xs)) → f[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
number4 → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
goal(x, y) → Cons(f(x, y), Cons(g(x, y), Nil))
g[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → g(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
g[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → g(x', xs)
f[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → f(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
f[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → f(x', xs)

Types:
lt0 :: Nil:Cons → Nil:Cons → True:False
Nil :: Nil:Cons
Cons :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
True :: True:False
g :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
notEmpty :: Nil:Cons → True:False
False :: True:False
g[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
number4 :: Nil:Cons
goal :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
hole_True:False1_1 :: True:False
hole_Nil:Cons2_1 :: Nil:Cons
gen_Nil:Cons3_1 :: Nat → Nil:Cons

Lemmas:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) → True, rt ∈ Ω(1 + n5₁)
g(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(n384_1)) → gen_Nil:Cons3_1(4), rt ∈ Ω(1 + n384₁)

Generator Equations:
gen_Nil:Cons3_1(0) ⇔ Nil
gen_Nil:Cons3_1(+(x, 1)) ⇔ Cons(Nil, gen_Nil:Cons3_1(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
f

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
f(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(n1042_1)) → gen_Nil:Cons3_1(4), rt ∈ Ω(1 + n1042₁)

Induction Base:
f(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(0)) →_R^Ω(1)
Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))

Induction Step:
f(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(+(n1042_1, 1))) →_R^Ω(1)
f[Ite][False][Ite](lt0(gen_Nil:Cons3_1(0), Cons(Nil, Nil)), gen_Nil:Cons3_1(0), Cons(Nil, gen_Nil:Cons3_1(n1042_1))) →_L^Ω(1)
f[Ite][False][Ite](True, gen_Nil:Cons3_1(0), Cons(Nil, gen_Nil:Cons3_1(n1042_1))) →_R^Ω(0)
f(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(n1042_1)) →_IH
gen_Nil:Cons3_1(4)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(16) Complex Obligation (BEST)

(17) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
lt0(Nil, Cons(x', xs)) → True
lt0(Cons(x', xs'), Cons(x, xs)) → lt0(xs', xs)
g(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
f(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
notEmpty(Cons(x, xs)) → True
notEmpty(Nil) → False
lt0(x, Nil) → False
g(x, Cons(x', xs)) → g[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
f(x, Cons(x', xs)) → f[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
number4 → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
goal(x, y) → Cons(f(x, y), Cons(g(x, y), Nil))
g[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → g(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
g[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → g(x', xs)
f[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → f(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
f[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → f(x', xs)

Types:
lt0 :: Nil:Cons → Nil:Cons → True:False
Nil :: Nil:Cons
Cons :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
True :: True:False
g :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
notEmpty :: Nil:Cons → True:False
False :: True:False
g[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
number4 :: Nil:Cons
goal :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
hole_True:False1_1 :: True:False
hole_Nil:Cons2_1 :: Nil:Cons
gen_Nil:Cons3_1 :: Nat → Nil:Cons

Lemmas:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) → True, rt ∈ Ω(1 + n5₁)
g(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(n384_1)) → gen_Nil:Cons3_1(4), rt ∈ Ω(1 + n384₁)
f(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(n1042_1)) → gen_Nil:Cons3_1(4), rt ∈ Ω(1 + n1042₁)

Generator Equations:
gen_Nil:Cons3_1(0) ⇔ Nil
gen_Nil:Cons3_1(+(x, 1)) ⇔ Cons(Nil, gen_Nil:Cons3_1(x))

No more defined symbols left to analyse.

(18) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) → True, rt ∈ Ω(1 + n5₁)

(19) BOUNDS(n^1, INF)

(20) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
lt0(Nil, Cons(x', xs)) → True
lt0(Cons(x', xs'), Cons(x, xs)) → lt0(xs', xs)
g(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
f(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
notEmpty(Cons(x, xs)) → True
notEmpty(Nil) → False
lt0(x, Nil) → False
g(x, Cons(x', xs)) → g[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
f(x, Cons(x', xs)) → f[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
number4 → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
goal(x, y) → Cons(f(x, y), Cons(g(x, y), Nil))
g[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → g(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
g[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → g(x', xs)
f[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → f(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
f[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → f(x', xs)

Types:
lt0 :: Nil:Cons → Nil:Cons → True:False
Nil :: Nil:Cons
Cons :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
True :: True:False
g :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
notEmpty :: Nil:Cons → True:False
False :: True:False
g[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
number4 :: Nil:Cons
goal :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
hole_True:False1_1 :: True:False
hole_Nil:Cons2_1 :: Nil:Cons
gen_Nil:Cons3_1 :: Nat → Nil:Cons

Lemmas:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) → True, rt ∈ Ω(1 + n5₁)
g(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(n384_1)) → gen_Nil:Cons3_1(4), rt ∈ Ω(1 + n384₁)
f(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(n1042_1)) → gen_Nil:Cons3_1(4), rt ∈ Ω(1 + n1042₁)

Generator Equations:
gen_Nil:Cons3_1(0) ⇔ Nil
gen_Nil:Cons3_1(+(x, 1)) ⇔ Cons(Nil, gen_Nil:Cons3_1(x))

No more defined symbols left to analyse.

(21) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) → True, rt ∈ Ω(1 + n5₁)

(22) BOUNDS(n^1, INF)

(23) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
lt0(Nil, Cons(x', xs)) → True
lt0(Cons(x', xs'), Cons(x, xs)) → lt0(xs', xs)
g(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
f(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
notEmpty(Cons(x, xs)) → True
notEmpty(Nil) → False
lt0(x, Nil) → False
g(x, Cons(x', xs)) → g[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
f(x, Cons(x', xs)) → f[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
number4 → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
goal(x, y) → Cons(f(x, y), Cons(g(x, y), Nil))
g[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → g(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
g[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → g(x', xs)
f[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → f(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
f[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → f(x', xs)

Types:
lt0 :: Nil:Cons → Nil:Cons → True:False
Nil :: Nil:Cons
Cons :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
True :: True:False
g :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
notEmpty :: Nil:Cons → True:False
False :: True:False
g[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
number4 :: Nil:Cons
goal :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
hole_True:False1_1 :: True:False
hole_Nil:Cons2_1 :: Nil:Cons
gen_Nil:Cons3_1 :: Nat → Nil:Cons

Lemmas:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) → True, rt ∈ Ω(1 + n5₁)
g(gen_Nil:Cons3_1(0), gen_Nil:Cons3_1(n384_1)) → gen_Nil:Cons3_1(4), rt ∈ Ω(1 + n384₁)

Generator Equations:
gen_Nil:Cons3_1(0) ⇔ Nil
gen_Nil:Cons3_1(+(x, 1)) ⇔ Cons(Nil, gen_Nil:Cons3_1(x))

No more defined symbols left to analyse.

(24) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) → True, rt ∈ Ω(1 + n5₁)

(25) BOUNDS(n^1, INF)

(26) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
lt0(Nil, Cons(x', xs)) → True
lt0(Cons(x', xs'), Cons(x, xs)) → lt0(xs', xs)
g(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
f(x, Nil) → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
notEmpty(Cons(x, xs)) → True
notEmpty(Nil) → False
lt0(x, Nil) → False
g(x, Cons(x', xs)) → g[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
f(x, Cons(x', xs)) → f[Ite][False][Ite](lt0(x, Cons(Nil, Nil)), x, Cons(x', xs))
number4 → Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Cons(Nil, Nil))))
goal(x, y) → Cons(f(x, y), Cons(g(x, y), Nil))
g[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → g(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
g[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → g(x', xs)
f[Ite][False][Ite](False, Cons(x, xs), y) → f(xs, Cons(Cons(Nil, Nil), y))
f[Ite][False][Ite](True, x', Cons(x, xs)) → f(x', xs)

Types:
lt0 :: Nil:Cons → Nil:Cons → True:False
Nil :: Nil:Cons
Cons :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
True :: True:False
g :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
notEmpty :: Nil:Cons → True:False
False :: True:False
g[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
f[Ite][False][Ite] :: True:False → Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
number4 :: Nil:Cons
goal :: Nil:Cons → Nil:Cons → Nil:Cons
hole_True:False1_1 :: True:False
hole_Nil:Cons2_1 :: Nil:Cons
gen_Nil:Cons3_1 :: Nat → Nil:Cons

Lemmas:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) → True, rt ∈ Ω(1 + n5₁)

Generator Equations:
gen_Nil:Cons3_1(0) ⇔ Nil
gen_Nil:Cons3_1(+(x, 1)) ⇔ Cons(Nil, gen_Nil:Cons3_1(x))

No more defined symbols left to analyse.

(27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
lt0(gen_Nil:Cons3_1(n5_1), gen_Nil:Cons3_1(+(1, n5_1))) → True, rt ∈ Ω(1 + n5₁)

(28) BOUNDS(n^1, INF)